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京都大学 前期 1984年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1984年 第6問 (解答解説)

📝 問題

区間で定義された関数について，次のことを仮定する．

  1. 関数は連続であり，更におよびその導関数について， 微分と積分を自由に行うことができる．

  2. 区間で，つねに不等式が成り立つ．

  3. 区間でつねに不等式が成り立つような定数が存在する．

このとき，次の問に答えよ．

  1. 等式を満たす値が，区間の中に，ただ1つ存在することを，簡単に説明せよ．

  2. 区間の中の(任意の)1つの値から出発して， ， とおく． このとき，不等式 が成立することを示せ． ただし，は問(1)に述べられている値とする．

✏️ 解答解説

【解答】

関数 $y=f(x)$ と直線 $y=x$ および不動点 $c_0$

図 1: 関数 と直線 および不動点

(1)

とおくと条件(ハ)からで

である．よってはで単調減少である．また条件(ロ)から

から，をみたすが の中に唯1つ存在し，これがに他ならない．

単調減少関数 $y=F(x)=f(x)-x$ のグラフと唯一の零点 $c_0$

図 2: 単調減少関数 のグラフと唯一の零点

(2)

数列 $d_{n+1}=f(d_n)$ が不動点 $c_0$ へ収束する様子（ウェブ図）

図 3: 数列 が不動点 へ収束する様子（ウェブ図）

与えられた不等式

について考える．の時はより(式3)は成立するから，以下とする．

平均値の定理から

をみたす がの間に存在する． 条件(ハ)から だから, 両辺絶対値をとって整理して

だから，くり返し用いて

である．以上より(式3)が成立し，題意は示された．

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