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京都大学 前期 1984年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1984年 第5問 (解答解説)

📝 問題

つぼの中に個の赤球と，個の白球が入っている． との2人が，交互に球を1個ずつとり出し，先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする． ただし，とり出した球は，もとにもどさないものとする．

  1. ちょうど回目(すなわち，2人のとり出した球の合計が， ちょうど個になった時)に勝者がきまる確率をとするとき， となることを示せ．

  2. このゲームをからはじめるとする． 任意の，に対して，が勝者となる確率は，またはそれ以上であることを示せ． また，が勝者となる確率がとなるための，との条件を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

交互に球を取り出すゲームの推移と勝敗

図 1: 交互に球を取り出すゲームの推移と勝敗

回目で勝負が決まるとき，としてあり得るのは

だから以下このもとで考える.

(1)

回目に勝者が決まる確率はの時は回目で必ず赤玉を引くので

である．そこで以下の場合を考える．

まずの時は，個の球の中から個ある赤玉を引けば良いので

である． ついでの時，回目までは白玉を連続で引き，最後回目で赤玉を引く確率だから

である．

そこで(式3),(式5)よりまずの時

である．

ついでの時，(式5)より

である．以上(式6),(式9)より である.

(2)

からゲームを始めるので，Aが勝者となるのは 回目にはじめて赤玉を引く確率で, これを, Bが勝者となる確率をとおくとの偶奇に応じて以下のようになる．

の時

この時はなるまで足し合わせるから

であり, (1)から とした式を辺々たしあわせて

である．これとからが従う．

等号が成立するのはと(1)で全ての等号が成立する時である．まずが必要だから(式6)で等号が成立して

である．この時に対して(式9)からが成立するから十分である．

の時

この時はなるまで足し合わせるから

であり, と同様に などとした式と から,

である．

この時等号が成立するのはとが必要だが，(式5)から とはならないから等号は成立しない．

の時

この時はAが1回目で勝利するから であるから，であり，等号は成立しない．

以上からいずれの場合もが成立し，等号が成立するのはの場合のみで

が奇数

なる時である．

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