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京都大学 前期 1984年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1984年 第4問 (解答解説)

📝 問題

空間に三角形があるとし，空間の原点は，この三角形が決定する平面上にはないとする．

  1. 実数，，が， 等式を満たすならば， であることを示せ．

  2. 辺，，の長さを，それぞれ，，とし，三角形の内接円の中心をとすると， 等式が成立するという． ，，を，，を用いて表せ．

✏️ 解答解説

【解答】

空間内の原点 $O$ と三角形 $ABC$ およびその内心 $P$

図 1: 空間内の原点 と三角形 およびその内心

(1)

与えられた関係式

の左辺を整理すると

左辺

である． はどの2つも平行でないから, の時(式1)の左辺の表す点はと異なる平面にあり不適である． よって だから(式1)に代入して

となる場合を考える．の張る平面内に座標をとって とおける()からこの時(式3)は

から だから が従う．これをに代入して を得る. 以上から(式1)が成り立つ時 である．よって題意は示された．

(2)

角の二等分線 $AQ,BR$ の交点にある内心 $P$

図 2: 角の二等分線 の交点にある内心

との交点, との交点とする． 題意より点が三角形の内心だから，が成り立つ．従って点に対しとおくと

が成り立つ．点は上の点だから として

式

と書ける．

(1)と同様にして, の時, だから, (式8)で係数を比較して

である．(式8)に代入して整理して

だから，

となる．従って(1)と同様に考えて

である．

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