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京都大学 前期 1985年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1985年 第4問 (解答解説)

📝 問題

実数 に対して，下の方程式①の定める球面と，②の定める平面の共通部分をとする．

  1. ①　

  2. ②　

  1. 点，がともにに属すれば， が成立つことを示せ．

  2. が自然数のとき，連立方程式①，②の整数解を決定せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

球面 $A$ と平面 $B$ の交円 $D$ の様子

図 1: 球面 と平面 の交円 の様子

与えられた球面と平面

について考える．の中心 と平面の距離は，点と平面の距離公式より

だから， は半径

の円である．よってこの円の中の点について

の直径

となり題意は示された．

$O$ から平面 $B$ へ下ろした垂線を含む断面とピタゴラスの定理による交円の半径の導出

図 2: から平面 へ下ろした垂線を含む断面とピタゴラスの定理による交円の半径の導出

(2)

(式1)で第二式を第一式に代入してを消すと

である． だから， のうち2つが1，のこり1つが0である．すなわち

である．対称性から とするとこれをみたすのは

のみである．従ってこれらを入れ替えたものも考えて， として

の時の時

である．

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