京都大学 前期 1985年 第1問 (解答解説)

【解答】

とおくと，三角不等式から

である．に余弦定理を用いると

である．新しく

とおくと，はの2次式 の(式1)を満たす2つの正の実数解である．このようなが存在するの条件を求めれば良い．

このような条件は，判別式をとして

である．このもとでだから，(式1),(式3)をで表して

第二式より だから(式5),(式6)に代入して，

である．これを満たすが存在するためには不等号の左右に注目して

である．

逆に(式10)が満たされる時， となる をとることができて， , とおくと

であり， は の2次式 の2正実解である． よってが正の実数解だから(式5)と同様に

となり，(式11)を代入して

となる．ここで(式10)より なので， をみたすような が存在して十分である．

以上から求める必要十分条件は(式10)で

である．

【別解】

ベクトルをそのまま扱うことでよりエレガントに解けるので紹介しよう． 方針としてはB, Cを固定し，Aを動かして考える．この時Aがあるようなをもとめると考えて，についての存在条件を考える．

点Xに対し， とおくと，題意の条件は

だから，同値変形して

だから，このようなが存在する必要十分条件は右辺が正であることで

である．この時BC上にないAがとれて十分である．