京都大学前期 1985年第3問 (解答解説)

【解答】

与えられた方程式において題意より判別式だから，これは虚数解を持つ．であるからこの時，となるので，解と係数の関係より

とおける．したがって，とすると ()

と表せる．よって題意は示された．

与えられた方程式

について考える．

(1)の条件が成り立つとすると，実数に対して

が任意の複素数を動くから，の解もとりえて題意の条件を満たさずに不適である．従って又はが必要である．以下個別に考える．

この時は(1)からは実数である．に注意する．

まずの時はだからとなり題意の条件を満たす．それ以外の時はまたはだからは任意の実数値を取る．従って常にとなるのはが実数解を持たない時で，判別式として

である．

この時はは純虚数であるから，は任意の () の形の値をとる．よってこの時

か つ

である．よってであれば条件をみたす．

以上の場合分けより求める条件は

か つ か つ か つ

である．これを図示すると下図斜線部(境界は実線のみ含む)となる．