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京都大学 前期 1983年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1983年 第5問 (解答解説)

📝 問題

平面上に動点，がある． は時刻0のとき点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進む． 他方は時刻0のとき軸上の点にあり，速さ1で軸上を正の向きに進み， ある時刻 で向きを変え，速さをに変更してに到達するように直進するものとする． 時刻から到達する時刻までの時間が最小になるようなを求めよ． ただし，とする．

✏️ 解答解説

【解答】

$P$ の折り返し点と $Q$ の到達点が作る直角三角形

図 1: の折り返し点と の到達点が作る直角三角形

到達時刻を とする．上図のように切り替え時刻での点 P, Q を， 到達時刻での点をとおくと点のでの速さがだから

である．そこでに三平方の定理を用いて

である．

さて， とすると を最小にする をもとめれば良い．(式3)に代入してを消去すると

だから両辺 で微分して，

を得る．そこでこの符号を考える．

これは のもとで2乗して良い． のときは常に である:

だから，の増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

したがってが最小になるのは の時である．

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