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京都大学 前期 1982年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1982年 第4問 (解答解説)

📝 問題

，，で定まる空間の部分をとし， ，，で定まる立方体をとする． がの範囲で動くとき，平面による，およびの切り口の面積を，それぞれおよびとする．

  1. を求めよ．

  2. の最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

$0<t< 3$ での切り口：一辺 $\sqrt{2}t$ の正三角形

図 1: での切り口：一辺 の正三角形

切り口は上図斜線部で，これは一辺の正三角形だから面積は

(2)

平面がを通るでそれぞれ切断面の形状が変わるから，それぞれで場合分けして考える．

の時

$0<t\le1$ での立方体の切り口：一辺 $\sqrt{2}t$ の正三角形

図 2: での立方体の切り口：一辺 の正三角形

この時の切断面は三角形で，だから(式1)より

である．

の時

$1<t<2$ での切り口：正三角形から3つの角を除いた六角形

図 3: での切り口：正三角形から3つの角を除いた六角形

切断面は上図のような六角形である． 一辺の正三角形から一辺の正三角形を3つとりのぞいたもので，

である．

の時

$2<t<3$ での切り口：一辺 $\sqrt{2}(3-t)$ の正三角形

図 4: での切り口：一辺 の正三角形

切断面は上図斜線部のような一辺の正三角形で，

である．

以上(式2),(式3),(式4)をまとめて

である．これを図示してのグラフは下図である．

立方体を平面 $x+y+z=t$ で切った面積 $S(t)$

図 5: 立方体を平面 で切った面積

従っての最大値は

である．

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