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京都大学 前期 1982年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1982年 第1問 (解答解説)

📝 問題

をのグラフ，を原点と異なる上の点とする．

  1. 点における曲線の接線は，と異なる点でと交わることを示せ．

  2. 曲線と線分で囲まれた部分は，軸によって，どのような面積の比に分けられるか．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

曲線 $C$ と点 $P$ における接線 $l$ および交点 $Q$ の概要

図 1: 曲線 と点 における接線 および交点 の概要

与えられた曲線を

とおく．の座標をとすると, からでのの接線は

だから

となる．従って (, ) を座標とする点で交わる．

(2)

曲線 $y=f(x)$ と接線の間の面積 $S_1,S_2$

図 2: 曲線 と接線の間の面積

の部分の面積, の部分の面積とする． は原点対称性だからの時 ならの時である．よっての時のみ考える．

具体的に計算すると

および

より(式7)を代入して

である．以上から

の時の時

である．

【別解】

(2)のは直接積分すると以下のように検算できる．

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