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京都大学 前期 1982年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1982年 第3問 (解答解説)

📝 問題

平面上に四辺形があって，どの頂点も，残りの頂点の作る三角形の外部にある． の重心を，の重心を， の重心を，の重心をとして， 四辺形を作る． これを1回目とし，同様の手続きをくり返して，回目にえられる四辺形をとする．

このとき，次のことを示せ．

  1. 線分，，，は1点を共有する．

  2. 点 は1直線上にある．

  3. との距離について，である．

✏️ 解答解説

【解答】

各三角形の重心へ引いた4本の線分の共通点 $P$

図 1: 各三角形の重心へ引いた4本の線分の共通点

原点とし，点の位置ベクトルをとする． 題意の四辺形の構成方法から

である．この時帰納的に

である．

(1)

線分上の点は各々 として

で表される．とすれば，(式1)からいずれも

を通るから，これがである．

(2)

が直線上にあることを数学的帰納法で示す． 上の点はとして

と表される．の時は明らかだから，での成立を仮定しての時を考える．

(式1),(式2)から，についての漸化式

を得る．仮定から(式6)でに対応するが存在するからこれをとおくと(式7)に代入して

である．これは(式6)で

としたものにひとしく，も上にある．よってでも成立する．

以上から数学的帰納法によりが全て直線上にあることが示された．

(3)

(式10)から点に対応するをとおくと

である．等比数列の公式を用いてこれをとくと

である．従っての極限は

だから，(1)より

となり

である．

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