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京都大学 前期 1981年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1981年 第3問 (解答解説)

📝 問題

は定数，は一つの自然数とする．

のとき，つねにであるならば， であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

とおいて， が の任意ので成り立つの条件をしらべる．

からの増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

増減表に基づく関数 $y=f(x)$ の概形と最小値

図 1: 増減表に基づく関数 の概形と最小値

よって，

である． とすればには が必要なので， とおいて(式6)の右辺をとすると

である．よっての増減表は以下のようになる．

表 2: の増減表

関数 $y=g(t)$ の概形（$t=\dfrac{m+1}{m}$ で最大値 $0$ をとる）

図 2: 関数 の概形（ で最大値 をとる）

これから

だから，常に がみたされるには， が条件である．

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