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京都大学 前期 1980年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1980年 第3問 (解答解説)

📝 問題

空間の3点，，の組で，次の条件をみたすものを考える．

  1. ①　，，は平面上にある．

  2. ②　の座標がであれば，，の座標はそれぞれ，である．

  3. ③　ベクトル，は直交する(ただし，)．

このとき，そのような，，のとりかたに関せず次の三つが成り立つことを示せ．

  1. ，，は定円上にある．

  2. 四面体の体積は一定である．

  3. ，，，，，の中点をそれぞれ，，，，，とすれば 6点，，，，，は定球面上にある．

✏️ 解答解説

【解答】

, , である．(1), (3)の条件より

である．

(i)

点 をとると(式1)から は 上にあり，また

だから， は を中心とする平面 上の円上にある．

(ii)

四面体 $OABC$ と6本の辺の中点 $L,M,N,P,Q,R$

図 1: 四面体 と6本の辺の中点

(式1)から， となり，四面体 は を底面とし， を高さとする正四面体とみることができる．ここで

式

だから，四面体の体積 として

である．よって示された．

(iii)

それぞれの中点の座標は

である． とおけば の任意の点をで表して

となり，たしかに は を中心とする球面上にある．よって示された．

【別解】

(ii)

サラスの公式を使ってもとける．

である．ただし

を用いた．

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