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京都大学 前期 1980年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1980年 第4問 (解答解説)

📝 問題

次のようなゲームがある．

  1. ①　最初の持ち点は2である．

  2. ②　サイコロをふって，奇数の目が出れば持ち点が1点増し，偶数の目が出れば持ち点が1点減る． このような操作を5回する．ただし途中で持ち点が0になったら，その時点でゲームは終了する．

このゲームについて，5回サイコロをふることができる確率，およびゲームが終った時の持ち点の期待値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意より の確率で1点増し， の確率で1点減る． 回目までに奇数の目が出た回数 ， 回目までに偶数の目が出た回数 とおくと の時，常に

がみたされていれば良い ( では等号が成立しても良い)． このような場合の数は，下の図で，格子の上を通って から各終点まで行く最短経路のうち を通らないものと1対1対応している．

境界 $Y=X+2$ を通らずに達する5回後の4つの得点

図 1: 境界 を通らずに達する5回後の4つの得点

従ってそれぞれの場合の数を数えると

  1. 7点 1通り \

  2. 5点 5通り \

  3. 3点 9通り \

  4. 1点 5通り

だから，5回振ることのできる確率は

であり，得点の期待値は

点

である．

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