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京都大学 前期 1981年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1981年 第4問 (解答解説)

📝 問題

  1. 四面体が，および (定数)をみたすとき， このような四面体の体積の最大値を求めよ．

  2. 四面体が， (定数)をみたすとき， このような四面体の体積の最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

点 $Q$ で3辺が直交し，$PR=PS=a$ となる四面体

図 1: 点 で3辺が直交し， となる四面体

(いずれも正) とおくと， 三平方の定理から

だから，四面体の体積として

式

となる．両辺をで微分すると

からの増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

よって は のときに最大値

を取る．

(2)

$AC$ の中点 $M$ による四面体 $ABCD$ の分割

図 2: の中点 による四面体 の分割

の中点とすると対称性から であり，四面体の体積，四面体の体積として

である． に三平方の定理を用いて

だから，

である．を固定して を動かすとこれは で最大である．

四面体 $ABDM$ と，辺 $MB,MD$ のなす角 $\alpha$

図 3: 四面体 と，辺 のなす角

この時の体積の最大値は(1)から だから(式5)に代入して求める最大値は

である．

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