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京都大学 前期 1981年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1981年 第2問 (解答解説)

📝 問題

空間の，同一平面上にない4点，，，を考える． 線分，，，の上にそれぞれ点，，，があって が平行四辺形をなすものとする． このとき次の問いに答えよ．

  1. ， ， ， とすれば， であることを示せ． ただし，はベクトルの大きさを表わす．

  2. 平行四辺形の対角線の交点は， 線分，のそれぞれの中点を結ぶ線分上にあることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

空間の4点 $O, A, B, C$ と各辺上の分点 $P_1, P_2, P_3, P_4$

図 1: 空間の4点 と各辺上の分点

点に対し とすると は1次独立である． 題意より

である．が平行四辺形だから なので，(式1)より

答

である．

(2)

平行四辺形の対角線の交点 $X$ が中点を結ぶ線分 $YZ$ 上にある様子

図 2: 平行四辺形の対角線の交点 が中点を結ぶ線分 上にある様子

(1)から とおく． 対角線の交点は の中点だから，この点として

である．

一方での中点とすると

だから線分上の点はパラメータを用いて

の形でかける． とすると () (式5)から となるから題意は示された．

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