京都大学 前期 1980年 第5問 (解答解説)

【解答】

を小さい順にならびかえた数列 とする．

(i)

の正負により場合分けする． の時は， が単調増加であることから (イ) が成立する．そこで， の時，(ロ) が成立することを示す．

題意を背理法で示す． と仮定する． すると をみたす が存在する．

この時， と をとりだしてきて， 又は のいずれかが の要素だが， より

となり，いずれもの範囲に入らない．これは が単調増加でが最小，が最大であることに反して矛盾する．以上から となり，したがって (ロ) が成立する．

以上から題意は示された．

(ii)

(ロ)が成り立つ時，全ての要素を倍すれば(イ)のケースに帰着するから，(イ)の場合で証明すれば良い．この時， の全要素が 以上だから， をとってきた時 ()， は の要素となりえず， が の要素となる． したがって

が全て の要素となる．

以上からいずれの場合も は等差数列である． は をならびかえたものだから題意は示された．