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京都大学 前期 1979年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1979年 第5問 (解答解説)

📝 問題

中心がである定円の周上に相異なる6つの定点がある． このとき

  1. となるように 点をとれば，点はの垂心であることを示せ．

  2. 6点 のうちから3点を任意にえらぶ． えらんだ3点を頂点とする三角形の垂心と，残りの3点を頂点とする三角形の重心とを通る直線は， 3点のえらびかたに無関係な一定の点を通ることを示せ．

注　三角形の各頂点からその対辺にひいた3つの垂線は1点で交わる． この交点をその三角形の垂心という．

✏️ 解答解説

【解答】

円周上の6定点 $A_1, \dots, A_6$ と中心 $O$

図 1: 円周上の6定点 と中心

点に対して と定めると題意より

である．

(i)

円周上の3点と三角形の垂心 $H$

図 2: 円周上の3点と三角形の垂心

垂心とは，各頂点から対辺へおろした垂線の上にある点のことをいうから，

と添え字を入れ替えた関係式が成り立つ．実際に計算すると

式

より である．同様にして各頂点とを通る直線とその対辺が直交するからは垂心である．

(ii)

$\triangle A_1A_2A_3$の垂心 $H$ と $\triangle A_4A_5A_6$の重心 $G$ を結ぶ直線上の定点 $X_0$

図 3: の垂心 と の重心 を結ぶ直線上の定点

選んだ3点を, のこりの3点をとする． (i)からの垂心は

である．

またの重心として

である．

(式6),(式7)からを通る直線上の点は, として

と表せる. とした点は

となり，3点のえらび方によらないから, これが題意の定点である．

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