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京都大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1978年 第5問 (解答解説)

📝 問題

，は整数とし，とする．

  1. (i)　方程式が三つの整数解(重解があってもよい)をもつような，の組をすべて求めよ．

  2. (ii)　方程式が少なくとも一つの整数解をもつために，がみたすべき必要十分条件を求めよ．

  3. (iii)　，の範囲で，(ii)の条件をみたす，の組はいく通りあるか．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた関数

について考える．

(1)

の三つの整数解を とすると，解と係数の関係より

である．第三式を満たすのは

であり，この時第一式，第二式に代入して

である．

(2)

(式1)が を解に持つ時，代入して

である． から

であるから，それぞれ

となる．逆にこの時 (式5) がみたされるから十分である．

(3)

(式7)から条件は

だから，図示すると下図である．

$|m|,|n|\le5$ 内の4直線と条件を満たす26個の整数格子点（赤丸）

図 1: 内の4直線と条件を満たす26個の整数格子点（赤丸）

よって の組数は

個

である．

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