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京都大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1978年 第3問 (解答解説)

📝 問題

放物線と直線との2交点を，とする． 点は放物線の弧の上をからまで動くものとし，の面積が最大となるときのの座標をとする．

  1. を求めよ．

  2. 線分に平行な直線が放物線と2点，で交わるとき， 線分は直線によって二等分されることを示せ．

  3. 放物線と線分によって囲まれる図形は，直線によって， 互いに面積の等しい二つの部分に分けられることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y=4-x^2$ 上の点 $P$ から直線 $AB:y=3x$ までの距離 $PH$．

図 1: 放物線 上の点 から直線 までの距離 ．

与えられた関数

の交点の座標はこれらを連立した二次方程式の解で

となる．よって交点はである．

(1)

曲線上の点を とおく． から直線におろした垂線の足をとすると，

だから， と の距離 が最大の時に の面積も最大になる．

より，これはの時に最大値

をとる．この時のの座標はである．よって

である．

$t^2+3t-4$ は $t=-3/2$ で最小となり，$|PH|$が最大となる

図 2: は で最小となり，が最大となる

(2)

直線 $x=p$ による線分 $CD$ の二等分．

図 3: 直線 による線分 の二等分．

題意の直線はと傾きが同じだから とおける (). これと放物線の交点の 座標は

の2解であり, だから, の中点 の 座標は となる. したがって(1)から, 線分 は で2等分される. よって題意は示された．

(3)

直線 $x=-3/2$ で分けた2領域 $S_1$ と $S_2$

図 4: 直線 で分けた2領域 と

上図のように，のうちの部分の面積をそれぞれとおく． まず全体の面積は

であり，は

である．よって(式8),(式11)より

だから となる．

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