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京都大学 前期 1979年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1979年 第3問 (解答解説)

📝 問題
  1. 変数がの範囲を動くとき

    について,の最小値は,の最大値はであることを示せ.

  2. ,,とおく. 任意の正数, に対して,,を3辺の長さとする三角形がつねに存在するように,の値の範囲を定めよ.

✏️ 解答解説

【解答】

(i)

から, AM-GM不等式を用いて

である.等号成立はの時である.

次にについて

だから(式1)よりはの時に最大値をとる.

(ii)

から全体をでスケーリングして

を三辺とする三角形が常に存在するの条件を求めれば良い.これは三角不等式

が常に成り立つようなの条件と等しい.

とおくと

だから,(i)より

である.よって(式5)が常に成り立つようなの条件は

である.

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