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京都大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1978年 第6問 (解答解説)

📝 問題

  1. ，は自然数とする．三角関数の加法定理を用いて，等式

    が成り立つことを示し，さらに次の積分を求めよ．

  2. 整数 ，自然数，および実数，に対して，

    とおくとき，を最小にするような，，，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(i)

加法定理より

複合同順

だから，辺々引いて

である．これで前半の等式が示された．

次にこの両辺をで積分して

である．ただし，はの時に，それ以外の時にをとるものとする．

(ii)

与えられた定積分

の被積分関数を とおくと，

である．よってこれを積分してを用いると

である．ただし，ここでをに拡張して

であることを用いた．

次に，二項係数の性質から

だから，に注意して(式9)を代入して

を得る．ここでだから，第二項は

となる．(式14)に代入して

である．さらに 及び から

の時の時

だから，の時とすれば

と統一的に扱えて，(式16)に代入して

である．以下かどうかで場合分けしてさらに変形する．

の時

(式19)でとして

だから，これはに関する二次式で，が実数全体を動く時，

で最小値

をとり，を動かすとの時に二項係数は最大値をとるから，この時

をとる．

の時

(式19)での時は

これはそれぞれについて二次で，を実数全体で動かすと

の時に最小値

をとる．これはと同じく，の時に最小値

をとる．この時は(式31)より

である．

以上からが最小となるのはの時で，

となる．

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