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京都大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1978年 第2問 (解答解説)

📝 問題

の重心を通る直線が，辺，とそれぞれ辺上の点，で交わっているとする． ，とし， ，の面積をそれぞれ，とすれば，次の関係が成り立つことを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

重心 $G$ を通る直線 $PQ$ の一例．

図 1: 重心 を通る直線 の一例．

(1)

点Xに対し とおく. が三角形を成すから と は一次独立である．の位置ベクトルは題意より

である．

従って直線上の点は として

とおける. これが重心を通るので,(式1)で係数比較して

となる．だから

となり，辺々足して

となる．

(2)

(式1)より，の面積比はだから

である．(式5)よりだから代入して

である．よって(式6),(式7)が平面上に共有点をもてば良い． と合わせて平面に図示すると以下のようになる．

条件 $1/h+1/k=3$ を満たす $0<h,k\le1$ の範囲

図 2: 条件 を満たす の範囲

よってこれらが共有点を持つ条件は

となり，題意の不等式は示された．

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