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京都大学 前期 1977年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1977年 第3問 (解答解説)

📝 問題

関数に対し，関数を， ，により定める． 任意の自然数について， 2つの関数およびのグラフを， それぞれ，とする． が，の交点であれば，における，の接線，は互いに直交する． これを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

漸化式から として

である．以下点 の 座標を として，をで割ったあまりで場合分けする． それぞれの場合で の接線ベクトルの内積がとなれば良い．

の時

この時は(式1)より

だから，点でこれらが交点を持つことより

となる． の接線ベクトルは , だからこれらの内積は

とになる，つまり と は直交する．

の時

この時(式1)より

だから， であり，接線ベクトルは , となり， と同じく は直交する．

の時

この時(式1)より

だから であり，接線ベクトルは , だから， と同じく は直交する．

の時

この時(式1)より

だから であり，接線ベクトルは , だから， と同じく は直交する．

以上からいずれの場合もは直交する． 故に題意は示された．

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