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京都大学 前期 1976年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1976年 第3問 (解答解説)

📝 問題

多項式で， 等式をみたしているものをすべて求めよ． ただし，はの導関数をあらわす．

✏️ 解答解説

【解答】

題意よりは多項式だからその次数をとすると

と置ける．従ってこれを微分，積分した時

である．

与えられた関係式

について， の最高次は , の最高次は である．よってとの大小で左辺の挙動が変わるのでこれによって場合分けする．

だから，

の時最高次の時最高次の時最高次

である．

の時

与式左辺の最高次 が右辺の最高次と等しいから

となり，が必要だが，に反して矛盾する． よってこの時は解はない．

の時

与式左辺の最高次 が右辺の最高次と等しいから

より，, つまり が必要である. (式3)に代入して

左辺

となり，十分である．

の時

与式左辺の最高次はとなるから，この係数が零出なければ与式左辺の最高次は となり矛盾する．従って

が必要である．よって

となる．これを(式3)に代入して

となる．係数比較して

である．第一式より

だから第二式に代入して

だから，

であり，(式10)より

である．

以上から求めるは

である．

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