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京都大学 前期 1976年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1976年 第5問 (解答解説)

📝 問題

関数で2つの条件(イ)は微分可能(ロ)のとき，のときをみたすものがある．

  1. (i)　微分可能な関数と正数が与えられたとき， 上の関数を用いて，次の条件(ハ)，(ニ)をみたす微分可能な関数を作れ．

    1. (ハ)　

    2. (ニ)　のとき

  2. (ii)　関数の例を1つ作り，その関数が(イ)をみたしていることを確めよ． ただし，関数が微分可能であるとは，すべてのの値においてその微分係数が存在することである．

✏️ 解答解説

【解答】

題意より が存在して の時 , の時 だから， の概形は下図のようになる．

滑らかな関数 $f$

図 1: 滑らかな関数

(i)

$g(x)$ と，原点付近だけを変形した $h(x)$ の概形．

図 2: と，原点付近だけを変形した の概形．

が条件 (イ), (ニ) を満たすことを示す. まず (ロ) から となって (ハ) を満たす.次に (ニ) について,

  1. の時 から \

  2. の時 から

となって (ニ) も満たす. また 共に微分可能だから も では微分可能である. では (イ) から だから左右極限は

となって左右極限が一致し， でも は微分可能である．以上からこの は題意を満たす．

(ii)

条件 (ロ) を満たす微分可能な関数 $f(x)$ の概形．

図 3: 条件 (ロ) を満たす微分可能な関数 の概形．

(ロ)を満たす関数

が (イ) を満たすことをしめす. この関数は全区間で連続であり， では微分可能であるから，での微分可能性を示せば良い．

簡単のため

とおくと， だから

から， は でも微分可能である． 以上から(イ)は示された．

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