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京都大学 前期 1976年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1976年 第6問 (解答解説)

📝 問題

外観では区別できない2つの袋，があり， には個の赤玉と個の白玉，には個の赤玉と個の白玉がそれぞれ入っている． この袋のどちらかが観測者に手渡され， 袋が手渡される確率は， 袋が手渡される確率はである． 観測者は手渡された袋から3個玉をとりだし， 赤玉の数が白玉の数より多いときは手渡された袋はであると判断し， そうでないときはであると判断する． 観測者が誤った判断を下す確率をとするとき，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

袋の選択と取り出した玉に基づく判断フロー（誤りの事象 $A, B$）．

図 1: 袋の選択と取り出した玉に基づく判断フロー（誤りの事象 ）．

題意の袋はそれぞれ

  1. 個の赤 と 個の白 \

  2. 個の赤 と 個の白

である．

観測者が誤った判断を下すのは，

  1. A: が手渡されて と判断する (確率) \

  2. B: が手渡されて と判断する (確率)

のいずれかである．従って求める確率は

である．以下を個別に考える．

の時

から 赤白個の球をとり出した時である． 全ての玉を区別して考えると，3つをとり出す 通りが同様に確からしいから，こうなる確率は，が手渡される確率であることと合わせて

である．

の時

から 赤白個の球をとり出した時である． 全ての玉を区別して考えると，3つをとり出す 通りが同様に確からしいから，こうなる確率は，が手渡される確率であることと合わせて

である．

(式5),(式9)を(式1)に代入して

が求める極限値である．

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