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京都大学 前期 1975年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1975年 第6問 (解答解説)

📝 問題

で，とする． 頂点から斜辺に垂線をひく(はその交点)． 半直線上に中心をもつ半径1の円を考える．

  1. (i)　の3つの辺が円の周とそれぞれ2点で交わるのは， がどのような範囲にあるときか．

  2. (ii)　と円の内部の共通部分の面積をとする． が(i)の範囲にあるとき，をつぎの関数を用いて表わせ．

  3. (iii)　は(i)の範囲にあるとする．を求め，を最大にするの値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

三角形 $ABC$ と中心 $O(t,t)$，半径1の円 $T$．

図 1: 三角形 と中心 ，半径1の円 ．

を原点， とする 平面で考える． 又題意の円の中心を とおく．すると直線，円の方程式は

となる．

(i)

円と各辺の交点は，それぞれの方程式を連立した解で与えられるから，

  1. と (軸) の交点は の2実解 \

  2. と (軸) の交点は の2実解 \

  3. と の交点は の2実解

である． よってこれらが に2実解を持つ条件を考えれば良い． と ， と の交点はを入れ替えただけで全く同じだから，前者だけ考える． すると求める条件は

軸端判軸端判軸端判軸端判

である．とおくとだから求める条件は

である．

(ii)

$\triangle ABC$ と円 $T$ の共通部分（面積 $S$）．

図 2: と円 の共通部分（面積 ）．

上図のように，求める面積は円の面積からで切り取られる弓形の面積を取り除けば良い． の中心と 軸， との距離は各々

である．

単位円で直線 $x=t$ の右側にある円弓形の面積 $F(t)$

図 3: 単位円で直線 の右側にある円弓形の面積

ここで が上図斜線部の面積を表すことから，3つの弓形の面積はなので求める面積は

である．

(iii)

(式8)の両辺をで微分して

からの増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

よって， で は最大となる．

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