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京都大学 前期 1975年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1975年 第1問 (解答解説)

📝 問題

あるスポーツ大会で，参加した個のチームはつぎの方法(リーグ戦形式)で順位を争う． すなわち，どのチームも他の各チームとそれぞれ1回ずつ試合を行い，勝ち数の大小によって順位をきめるものとする． 今年の大会では，引き分けが1回も起こらず，また同順位のチームがなかったという． このとき，どのチームもそれより下位のチームには必ず勝っていることを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

各チームは試合行って引き分けがなかったので，勝ち数は の 通りしかない．題意から引き分けのチームはなかったので第 位のチーム は 勝していることになる ()．以下題意の成立を についての帰納法で示す．

まずの時，1位のチームは 勝，つまり他の全てのチームに勝っており成立する．

そこで での成立を仮定する． の時，仮定から は のチームに負けており，少なくとも 回負けている．従って， 勝するには残りの全ての試合に勝つことになるから， でも成立する．

以上から数学的帰納法により題意は示された．

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