京都大学 前期 1976年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた関数

について，一階微分すると

であり，ではつまりは単調増加である． また， がの偶奇に応じて偶関数あるいは奇関数なことより， を満たすには

であれば良い. (式1)に代入して

である．ここで，だから

であり，はについて単調減少であることより(式4)をみたす自然数 は である．

(2)

(1)で とおきかえると，

は で をみたす. そこで

であるような をさがす． 各辺正だから底をとする対数をとって

である．以下を評価しよう．

の両辺 をとって

だから(式9)において

となる．よって(式9)はならば確実に成り立つ．これらのはも満たす． したがってたとえば とした は解の1つである．

【別解】

(1)から とすると前半の条件を満たすので，この形を使っても良い．