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京都大学 前期 1976年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1976年 第4問 (解答解説)

📝 問題

正の数列 が 不等式をみたしているとき， 次の(i)，(ii)を証明せよ．ただし，(ii)を先に証明してもよい．

  1. (i)　

  2. (ii)　

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた関係式

について考える．(ii)を先に示す．

(ii)

(式1)の左辺を

とおくと，両辺をで微分して

となる．すると

よりは二つの実数解 を持つ． よって増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表．

また， および より， における のグラフは以下のようになる．

$x>0$ における $y=f_n(x)$ の概形と $x=1, \dfrac{5}{3}$ での値．

図 1: における の概形と での値．

従ってが成り立つは

を満たす．

ここで(式1)を変形して

である．

$y=x/(x+5)$ と $x=5/3$ での値 $1/4$

図 2: と での値

上図の のグラフはで単調増加だから，(式5)と合わせて(式7)の右辺を上から評価して

だから(式7)に代入して

である．

(i)

(式9)の右辺はでに収束するからはさみうちの原理から

である．

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