京都大学前期 1975年第5問 (解答解説)

【解答】

与えられた数列

について考える．

の時(式1)より

だからをみたすうちで逆数和を最大にするようなの組をもとめれば良い．はで単調減少なことからしらみつぶしで考える．

を(式2)に代入して

を満たすうちで左辺を最大にするを求めれば良い． (式1)よりだから，(式3)の両辺にをかけて

だからとして順に代入すると

又 は

なので，これらの逆数和を計算すると

の 時

だから，このうち最大のものを選んで，

である．この時の値は

である．

の時は(式2)に代入して

だから，これを満たす逆数和が最小のの組はである．この時で，は

となり，これはの時の最小値(式8)よりも大きい．よっての時はの時よりを小さくできない．

以上の場合分けと(式8)からもとめるのは

である．

の時を考えると，(式1)において

となってはとすることで最小値をとる． (式14)においてをうごかした時はで最小値をとる．従っての時のの最小値は

である．

そこで以下として考える．の時は

だから不適である．の時は(1)で調べたので，残りの時を考える．がで単調増加なこととの時であることから，を最小にするのはの時の

である．

以上から，

の 時 で の 時 で の 時 で

となり，を最小にするのは

の時である．