【解答】
与えられた不等式
について，簡単のため
とおいて，
について考える．
はより について単調減少であり，だから
のグラフは以下のようになる．
図 1: の単調減少性と との交差関係． では となる．
(イ)
(式3)はの単調減少性より
となるから，の値に応じて場合分けする．
つまり の時
この時(式3)は
となり, これが解を持つとすると と の間に整数が存在することになり矛盾する.
よってこの時不等式(式3)は解なしである．
つまり の時
この時，の単調減少性とから，
をみたす が存在する.
の時は と同じく不等式(式3)は解なしである.
したがって解答があるのは の時である．この時,
をみたす は 個であるから, 全ての に が で2つずつ対応していたとしても, は 個である. 以上から, 解は多くとも
であり, これは有限の値をとる.
以上 から題意は示された.
(ロ)
(式3)にを代入すると
である．は単調減少だから，において
である．よって(式9)を満たすは
に限られる. で考えると だから適するものは に限られる.
よって題意は示された．
(ハ)
なるが解ならばも解だから，で考えれば良い．
この時(ロ)から解は である．
つまり が最大の時 が最大であるから最大となるを求める.
まず が解であるには(式9)よりが必要で，
が必要である. これを解いて では
となる．この時は
であり, から ,
から なので,
(式15)の両辺平方根をとって, から
である．従って をみたす があればこれが求める値で,
を解いて計算すると が求める最大値である.
