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京都大学 前期 1974年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1974年 第2問 (解答解説)

📝 問題

内部の形が半径10cmの半球形の容器(へりの大円が上部，水平におかれている)に水がいっぱいはいっている． ここから水をくみ出すのに，水面の下がる速さをcm/秒(一定)にしたい(もちろん，からになる時点までの範囲に限定する)．

  1. 秒間にくみ出す水の量はどれだけか．ただし

  2. 秒後において水をくみ出す速さはどれだけか，単位は秒で求めよ． ただし

✏️ 解答解説

【解答】

半球形の容器と水深 $h$ のときの水面の半径

図 1: 半球形の容器と水深 のときの水面の半径

時刻 での水面の面積 , 水深を とすると, 水の流出速度 として

である．

ここで, は半径の円だから

である．

また題意から,

である．両辺積分して で だから

である．

(1)

題意の水量 とすると,

式

である．

(2)

(式1),(式2),(式4)から

である．

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