【解答】
与えられた関数を
とおく．一階微分すると
だから，の時のの増減表は以下のようになり,
の 座標は である.
表 1: の増減表(の時)
図 1: のときの のグラフと小球の初期位置 ．
次に二階微分を計算すると
だから，の増減表は以下のようになる．
表 2: の増減表
図 2: と の大小に応じた導関数 の極大値 の符号と零点の個数．
従って，となるの数は，の正負に応じて変化する．
それぞれの場合を個別に検討する．
つまり の時
から となる が 3つあるので，これを とすると，の増減表は以下のようになる．
表 3: の増減表(の時)
図 3: のときの のグラフ．左右に2つの窪みがあり， は左の窪みにとどまる．
この時のグラフは左右の窪みを持つからは左の窪みに止まり続ける．
つまり の時
から となる が 2つあるので，これをとする．
ただしは重解である．すると，の増減表は以下のようになる．
表 4: の増減表(の時)
図 4: の時ののグラフ． に水平な変曲点が現れる．
従ってこの時はの左側の窪みがちょうど消滅する．この点での傾きはだからは止まり続ける．
つまり の時
から となる が唯一存在するのでこれを とする．
すると，の増減表は以下のようになる．
表 5: の増減表(の時)
よってこの時は窪みが一つになる．が右側の窪みに落ちるためには当初の窪みの位置よりもこの窪みが右側にないといけないから， つまり が成り立つ：
これは題意により常に成り立つ．したがって の時に が右のくぼみにおちる.
以上 から求めるの閾値は である．
