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京都大学 前期 1973年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1973年 第3問 (解答解説)

📝 問題

正三角形がある． 点を直線に関してと反対側にとってとなるようにし， ベクトル，，を それぞれ，，で表わす． このとき

であることを証明せよ． ただし，はそれぞれ，の大きさを示す．

✏️ 解答解説

【解答】

$AB$ の中点 $M$ と，$O$ と反対側にある正三角形 $ABC$ の頂点 $C$

図 1: の中点 と， と反対側にある正三角形 の頂点

を原点とし， が 軸上， が第一象限になるよう 平面をおく． この時 , とする． 題意より だから

とおける． の中点を とすると

だから，, , が と反対側であることをあわせて，

となる．従っては(式1),(式3)より

である．

一方，題意で与えられたベクトルは

である．

(式6),(式7)から

となる．よって題意は示された．

【別解】

に平行な単位ベクトルを とすると，これらは1次独立でなす角度がだから

となる．

そこでをパラメータで

とおく．正三角形の各辺について

であり，これらの大きさ2乗が全て等しいので， として

である． とするとこの方程式はは成立する． また は1次独立であることから，これが解には他ならず，よって

である．

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