京都大学 前期 1977年 第5問 (解答解説)

【解答】

(1)

以外の2辺の長さを とすると題意より

である．ここで

とおくと，ヘロンの公式から三角形の面積 は

となる．等号成立は の時で，この時三角形は2等辺三角形である．よって題意は示された．

(2)

四角形 とし，4辺の長さを とすると題意より を定数 () として

となる．, と固定するとで一定である． この時(1)より, は で面積最大である．この面積を とする．三角形の存在条件から

である．

上図で は の中点とすると，に三平方の定理を用いて

である．よっては

となる．従って を固定した時は で は最大値 をとる．

次に をで動かす．(式16)を変形して

となる．したがって は で最大となる．このはを満たし十分である．

この時 で，たしかに は正方形である．よって題意は示された．

【別解】

(2)

とする． ブレードシュナイダーの公式から， として

等号成立は かつ ，つまり が正方形の時である．