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京都大学 前期 1966年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1966年 第6問 (解答解説)

📝 問題

【新課程】

正角形の頂点を順次とする．

  1. これらのうちの任意の3点を結んでできる三角形の総数を求めよ．

  2. 上の三角形のうちで鋭角三角形になるものの総数を求めよ．

【旧課程】

正数列で条件

＊

を満たすものは一組しかないことを，次の順序で証明せよ．

  1. (i)　は条件(＊)を満たす．

  2. (ii)　条件(＊)を満たす任意の数列について， 数列 は およびを満たす．

  3. (iii)　(ii)の数列が正数列ならば，，かつ，でなければならない．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

個の頂点の中から3つ選べば三角形が1つ対応するので， 求める場合の数は

である．

(2)

鋭角三角形は全ての角度が鋭角である三角形である． よって(式1)から鈍角三角形と直角三角形の数を除けば良い． の偶奇に分けて考える．

の時

偶数個の頂点：直径 $A_1A_{k+1}$ の両側にある頂点領域

図 1: 偶数個の頂点：直径 の両側にある頂点領域

1つ目の頂点を で固定し，残りの二つの頂点を選ぶことを考える． が外接円の直径だから，を鈍角にするには上図の領域から2点を頂点として選べばよく，その場合の数は

のとき通りの時通り

である．

1つ目の頂点をで動かすとそれぞれ同じだけ場合の数があるが，回数え上げの重複があるから，合計の場合の数は

の時通りの時通り通り

である．

次に直角三角形については円周角の定理より，円の直径を辺とすると，残りの点の選び方は通りある．円の直径の選び方は通りだから，合計の場合の数は

通り

である．

(式1),(式4),(式5)から，この場合の鋭角三角形の数は

である．

の時

奇数個の頂点：$A_1$ の反対側は $A_k$ と $A_{k+1}$ の間

図 2: 奇数個の頂点： の反対側は と の間

と同様に1つの頂点を に固定した時に残りの二つの頂点を選ぶことを考える．が鈍角になるのは，上図の領域から二つの頂点を選んだ時で，その場合の数は

のとき通りの時通り

である．

1つ目の頂点をで動かすとそれぞれ同じだけ場合の数があるが，回数え上げの重複があるから，合計の場合の数は

の時通りの時通り通り

である．

また，この場合は円の直径を辺とできないから直角三角形は存在しない． 従って求める場合の数は(式1),(式13)から

通り

である．

以上(式10),(式18)から求める場合の数は

である．

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