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京都大学 前期 1967年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1967年 第6問 (解答解説)

📝 問題

【新課程】

2つの関数(函数) と とのグラフを考える．

  1. この2つのグラフは，の範囲では， 点以外に交点がないことを次の方針で示せ．\ をの範囲で考えると， であり，等号はのときに限り成立する．

  2. 範囲において， のグラフ，のグラフ，軸，直線 で囲まれた部分の面積を求めよ．

【旧課程】

長さの単位をセンチメートル，時間の単位を秒とする． 曲線の軸を鉛直にして，この曲線を軸のまわりに回転してえられる曲面を内面とする容器がある． ある時刻に水をこの容器に入れ始め，任意の に対して， 秒後の水面の上昇速度がであるようにするには， 水の注入速度(単位は)をどのようにすればよいか．

✏️ 解答解説

【解答】

とする．

(1)

$y_1$（双曲線），$y_2$（余弦曲線）および共通接線 $y_3$ のグラフ

図 1: （双曲線），（余弦曲線）および共通接線 のグラフ

与えられた関数

について考える． と をそれぞれ計算する．

まずについて，

であり， ではAM-GM不等式からだから

となる．等号成立は の時である．

次にについて，

だが，各項についてではであり，等号成立はの時だから

等号成立は

である．

(式5),(式8)からではとなって交点は持たず，交点はの時ののみである．

(2)

$x=\dfrac{1}{2}$ で上側の境界が切り替わる面積領域$S$

図 2: で上側の境界が切り替わる面積領域

上図から, もとめる面積 として

である．各項個別に計算すると

第一項 第二項 第三項

である．

これらを(式10)に代入して，求める面積は

である．

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