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京都大学 前期 1967年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1967年 第3問 (解答解説)

📝 問題

双曲線 上の1点 をとる． この双曲線のにおける接線が軸と交わる点をとし，座標の原点をとする．

  1. の面積をを用いて表わせ．

  2. のとき，の面積の極限値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

双曲線上の点 $P$ における接線と $x$ 軸との交点 $Q$

図 1: 双曲線上の点 における接線と 軸との交点

与えられた双曲線

について考える． 点 での接線は だから， これと軸との交点は である．

(1)

まず 及び から

である．従っての面積は，から軸におろした垂足として

である．

(2)

(式3)より求める極限値は

である．

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