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京都大学 前期 1968年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1968年 第3問 (解答解説)

📝 問題

である2数，に対して， 不等式を満たすすべての数の集合が，

条件：　がに属しているときには，もまたに属している

を満たすとする．このとき，

  1. であることを示せ．

  2. ，またはであることを示せ．

  3. であるとき，はどのような集合か．

  4. であるとき，与えられた数 に対して， のとりうる値の範囲を定めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

$y=x^2$ と $y=x$ の比較

図 1: と の比較

与えられた条件はの直線との放物線に対して，

となるような領域である．での(式1)の成立が必要だから，

が必要である．よって示された．

(2)

(1)と同様に，での(式1)の成立が必要だから

が必要である．ただし(1)より であることを用いた． よって

である．よって示された．

(3)

の時，とよりが従うから，

である．

(4)

$x^2\le l$ となる区間と $m\ge-\sqrt{l}$

図 2: となる区間と

の時(3)より である． の全ての で となるような を求める. この時のとりうる値は

だから，は(1)ですでに満たされていることより， であることが必要十分である．よってこれを解いて求める条件は

である.

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