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京都大学 前期 1968年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1968年 第5問 (解答解説)

📝 問題

放物線の上に，2点，がある． ，の座標をそれぞれ，とする． この放物線上の任意の点の座標をとするとき， をの関数(函数)として表わし， この関数の増減，おうとつ，極値，変曲点をしらべて，グラフの概形をかけ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y=x^2$ と2点 $A, B$ および動点 $P$

図 1: 放物線 と2点 および動点

, , , とおく.の関数の詳細を調べれば良い．具体的に計算すると

だから，一階・2階微分は

である．よって増減表は以下のようになる．

極小

表 1: の増減・凹凸表

グラフは下図である．

$f(x)=2x^4-3x^2-2x+\dfrac{61}{8}$ のグラフ．変曲点と極小点を示す．

図 2: のグラフ．変曲点と極小点を示す．

従って求める極値と変曲点は以下のようになる．

  1. 極値:

  2. 変曲点: ,

凹凸はでは下に凸，それ以外の区間では上に凸である．

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