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京都大学 前期 1969年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1969年 第5問 (解答解説)

📝 問題

はその大きさがであるような定ベクトルであり， また，各(=1，2，3，4，5，6)について， 次のような成分をもつベクトルが与えられている． ．

一つのサイコロを投げて，の目が出たとき， ベクトルをとるものとする． この場合，ベクトルの大きさの平方の期待値を，を用いて表わせ．

✏️ 解答解説

【解答】

ベクトル $\vec{A}$，$\vec{B}_k$ と和 $\vec{X} = \vec{A} + \vec{B}_k$ の関係

図 1: ベクトル ， と和 の関係

題意よりだから，両辺を二乗して

である．題意から，パラメータを用いて とおけるから(式2)に代入して

である．よってこの期待値は

である．

単位円に内接する正六角形と各頂点の位置

図 2: 単位円に内接する正六角形と各頂点の位置

ここで上図のように単位円に内接する正六角形を考えると，中心から各頂点へのベクトルの 成分は () で表わされる．この頂点の重心は原点だから足し合わせるとになる：

から，(式6)に代入して求める期待値は

である．

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