京都大学 前期 1969年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

は実数範囲で少なくとも1つ解を持つことを示せば良い． のグラフを考えると無限遠でである．これと は連続であることから，中間値の定理から は実数範囲で少なくとも1つ解を持つ．従って因数定理によって因数分解できて

と書ける．よって題意は示された．

(2)

の係数は全て実数だから，複素数 に対して ならば である． は三次式なので複素数範囲で重根込めて3つの解しかないことから の解は以下のいずれかである．

1. 　3つとも実解

2. 　1つ実解，2つが複素解

それぞれの場合について題意を示す．

以上から，いずれの場合も である．

【別解】

(1)

代数学の基本定理より，方程式 は複素数範囲で3つの解をもつ． は実数係数多項式であるから，複素数 が をみたせば，その共役複素数 も をみたす． したがって虚数解が存在するならば必ず共役なペアで現れるため，虚数解の個数は偶数（0個または2個）である． ゆえに，3つの解のうち少なくとも1つは実数解でなければならない． その実数解の1つを とおくと，因数定理より は実数係数の1次式 で割り切れる． 実数係数の多項式同士の割り算であるから，商 の係数 もすべて実数である． したがって とおけば，

となる実数 が存在する．