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京都大学 前期 1968年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1968年 第1問 (解答解説)

📝 問題

つぎの5つの命題のうち，正しいものには□の中に○印をつけて，証明せよ． また，正しくないものには□の中に×印をつけて，理由を示せ．

  1. □　(1)　2実数，について，ならば，である．

  2. □　(2)　どの3点も1直線上にはない4点，，，について， (零ベクトル)はけっして成立しない．

  3. □　(3)　3つの集合，，について， ，，という関係があれば，である．

  4. □　(4)　である自然数について，が成立する．

  5. □　(5)　自然数の逆数全体の集合 において，最小数は0である．

✏️ 解答解説

【解答】

(1) 正しい

対偶をとると「」だからこれは明らかである．

(2) 正しくない

反例を構成する．座標平面で , , , とすると, どの3点も一直線上にないが,

である.

(3) 正しい

まずを示す. 題意より である. 次に,題意より

である．よって が従う．同様にして も示されるので

である．

(4) 正しい

数学的帰納法で示す. の時は より となって成立する. そこで での成立を仮定する． の時はまず

仮定

が成り立つ．この右辺をさらに下から評価すると

だが，これはより成立する．以上より

となって でも題意は成立する. 以上から示された.

(5) 正しくない

背理法により題意を示す． 題意が正しいとすると なる が存在する. 両辺に をかけると

となって矛盾するから示された.

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