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京都大学 前期 1968年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1968年 第6問 (解答解説)

📝 問題

である数に対して， を満たすは， の増加関数であることを示せ． さらに，極限値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた方程式

について考える． 左辺の積分を計算して

左辺

だから，これを(式1)に代入して

である．両辺正だから2乗して

である．(式1)の区間では左辺はでないから逆数をとって

である．よってが増加関数であることと，での極限を求めれば良い． を変形すると

である．

$y = f(x)$ のグラフ（$0 < x < 1$）

図 1: のグラフ（）

まず単調増加性について，(式10)の両辺をで微分して

だから は の単調増加であり, また(式8)でとして

である.

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