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京都大学 前期 1967年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1967年 第5問 (解答解説)

📝 問題

【新課程】

以下は平面内の問題である． ，，，は定点で，，，は1直線上にないものとする．

  1. 点が直線上にあるための必要十分条件は ， (，は実数)と書けることである．これを証明せよ．

  2. 次の2条件をみたす実数，，は，，以外にないことを示せ．

    零ベクトル

  3. がこの平面上の点であって， (，は実数) であるとき， ， をみたす実数，，は必ず存在し， しかもおのおのの値はただ1つに定まることを証明せよ．

【旧課程】

の周上の2点，を結ぶ線分で3角形の面積を2等分する． このような線分の長さの最小値を求めよ． ただし，，の長さをそれぞれ，，とし，またとする．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

直線 $AB$ 上の点 $P$ と位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$

図 1: 直線 上の点 と位置ベクトル

が 上にある時, 実数 を用いて

とかける．整理して

だから とおけば, 十分性が示される．

次に, とおける時, から

となり, たしかに は 上にある．よって必要性が示された．

以上から題意は示された．

(2)

与えられた条件

について考える．第二式から だから,

となる．

ここで, は一直線上にないから(式7)をみたす は のみである．よって(式5)から

となるから である．

(3)

平面 $ABC$ 上の点 $Q$ と位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$

図 2: 平面 上の点 と位置ベクトル

与えられた条件

からを計算すると

である．ここで

とおくと，これはを満たしてかつ一意で必ず存在する． よって題意は示された．

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