京都大学 前期 1967年 第4問 (問題)

次の□の中に適当な数または式を入れよ． また(イ)〜(ホ)の「　」で囲まれた文章の理由を， 最後の(イ)〜(ホ)の解答のところで述べよ．

をみたす整数の組を求めることを考える． (以下この方程式の整数解を単に解と略称する．)

準備のために次のことを確かめておく．

1. (イ)　「，，，が整数であって， ならば，，である」

   次にが解であれば，，，も解であることは， 方程式(1)により明らかであるから， が共に負でない解を求めることが基本的である． それでそのような解を求める手段として

   (，は負でない整数，)とおく． そうすると(イ)によって，

   ，，，である．

   一方，と， となどを比較することによって，一般に

   であることがわかる．

   (2)と(4)と，とを使って，

   となるから，(2)で定まるは方程式(1)の解であることがわかる． とくに，，の一方が0となるような負でない解は，明かに，で， それは(3)のに外ならない．

   次にととの関係を求めてみる．

   ゆえに，，

   したがってから出発して， 負でない解，，，，を 順次求めて行くことができる． しかもである．

   以上のことで負でない解を多数みつけたのであるが， これらで負でない解が尽くされているかどうかを次に吟味する．

   いま任意の正の解，をとると，

2. (ロ)　「，とおくとき，も解である」

3. (ハ)　「そして，である」

4. (ニ)　「それで，任意の正の解から出発して， (ロ)におけるを求める操作を順次行なうことによって， (3)に示す負でない解に達する」

5. (ホ)　「したがって，任意の負でない解は式(2)によって定まる のどれか1つである．」