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京都大学 前期 1966年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1966年 第1問 (解答解説)

📝 問題

方程式は

  1. ただ一つの実根を，1と2との間にもつことを示せ．

  2. この根は無理数であることを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた関数を

とおくと，一階微分は

だから，は単調増加である．

$y = f(x)$ の概形と区間 $1 < x < 2$ における実根 $\alpha$

図 1: の概形と区間 における実根

これと , より， は の区間に唯1つの実根を持つ．よって題意は示された．

(2)

根を とおくと(式1)に代入して

である．題意を背理法で示す． が有理数だと仮定すると， とおける( は互いに素)． (式3)に代入して整理して

だから， が で割り切れることが必要だが， は互いに素だからそのようなことはない．よって矛盾するから， であり，題意は示された．

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