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京都大学 前期 1966年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1966年 第4問 (解答解説)

📝 問題

【新課程】

平面上で，距離の2定点，を始点とする単位ベクトル(大きさが1のベクトル) ，が それぞれ始点のまわりに同じ向きに回転運動をなし， ，のから測った回転角は それぞれ，である． の大きさの最大値をで表わせ．

【旧課程】

二次方程式がのすべての正の値に対して実根をもつための必要十分条件を ，，の大小関係によって表わせ． ただし，，は相異なる正数とする．

✏️ 解答解説

【解答】

座標の取り方と二つの単位円上の点 $P,Q$

図 1: 座標の取り方と二つの単位円上の点

上図のように，を原点としてを軸とするような座標平面を考える． するとであり，はそれぞれを中心とする半径上の円上を動く． 題意からこれらの座標は

とおけるから

である．

から， が最大の時に も最大になる．具体的に計算すると

となる．これをとおいて：

最大値を求めれば良い． よりは下に凸な二次式だから，軸と両端点の大きさで場合分けする．

$f(c)$ の軸と $-1\le c\le1$ の位置関係

図 2: の軸と の位置関係

場合分けに応じた $f(c)$ のグラフと最大値の位置

図 3: 場合分けに応じた のグラフと最大値の位置

の時

この時ははの時に最大となり， その最大値は

である．

の時

この時はは軸の時に最大となり， その最大値は

である．

以上をまとめて求める最大値は

の時の時

である．

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