【解答】
図 1: 同じ速さで進む と角 内の点
を原点， を 軸とする上図のような座標系を考える．
の方向ベクトルを
とおく ()，点 とおく．
題意から , , , () とおける． 又は の時，, から， は の2等分線上にあるから良い．
そこで以下 , の時を考える．
このもとで題意の条件から
が成り立つと仮定する．
図 2: 面積と内積から を求める補助図
上図の3点 に対し
だから，の座標を用いて は方程式
の異なる二つの実数解である．
ここでさらにの座標をとおくと，がの内部にあるから
である．(式3)に代入すると
となる． から両辺のを割って絶対値も外して
である．(式10)がについて異なる2つの実数解を持つ必要があるが，
の時は左辺は次式だから不適である．そこで
が必要で，この時(式10)とから
である．
題意と(式4)より だから，(式11),(式12)を満たすのは
である．この時(式10)がについての恒等式になって常に(式1)は満たされる．
(式13)の時，，つまり が の2等分線上にある．
以上から題意は示された．
【別解】
図 3: 別解で用いる の図と角
各図形量を上図のようにおく．
この時 となる が少なくとも2つある条件をしらべる．
ただし
とする．
に正弦定理から
だから，(式14)より の時，
である．
から
となる． の時は題意を満たす．
の時これを満たす は2つはないから不適である．以上よりとなり，はの二等分線である．
